Fluctuation d'échantillonnage : tirage dans une urne et tableur

Une urne contient quinze boules indiscernables au toucher : sept boules rouges, trois boules vertes et cinq boules bleues. On définit l'expérience aléatoire suivante : on tire une boule de l'urne et on note si elle est rouge ou non.

1. Justifier que ce tirage peut être assimilé à une épreuve de Bernoulli dont on précisera le paramètre et la loi de probabilité.

2. On cherche à simuler \(100\) tirages aléatoires à l'aide d'un tableur. On admet que la commande =ALEA.ENTRE.BORNES(1;15) génère un nombre aléatoire entre \(1\) et \(15\) inclus, chacun ayant la même probabilité d'apparition.
    a. Saisir la formule ci-dessus dans la cellule A1 et l'étirer vers la droite jusqu'à la cellule CV1 (on crée ainsi \(100\) tirages).
    b. Saisir dans la cellule CW1 la formule =NB.SI(A1:CV1;"<=7")/100. Que représente le résultat affiché ? Paraît-il cohérent avec la probabilité de piocher une boule rouge ?
    c. Simuler un nouveau tirage à l'aide de la touche F9. Les différents résultats paraissent-ils cohérents avec l'épreuve de Bernoulli de l'activité ?

3. Sélectionner la ligne entière, puis l'étirer vers le bas jusqu'à la ligne 200.
    a. Sélectionner les données de la colonne CW, c'est-à-dire les données des cellules CW1 à CW200, et représenter celles-ci sous forme d'un nuage de points, puis sous forme d'un histogramme. Les résultats semblent-ils cohérents ?

On donne ci-après les résultats d'une simulation :

   b. Dans la cellule CW201 entrer la formule =NB.SI.ENS(CW1:CW200;">=0,36";CW1:CW200;"<=0,57")/200.
Que représente le résultat obtenu ? Simuler plusieurs tirages et interpréter dans le contexte de l'activité.

4. Modifier la feuille de calcul afin de générer \(400\) échantillons de taille \(200\) (il faudra aller jusqu'à la colonne GR et déterminer la fréquence des échantillons dont la proportion de succès est située dans l'intervalle \(\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]\) où \(p\) représente la probabilité de succès et \(n\) la taille des échantillons). Vérifier que la fréquence de ces échantillons est supérieure ou égale à \(95\: \%\).